RPSC वरिष्ठ अध्यापक (माध्यमिक शिक्षा) पेपर II गणित 2025

Q.1

$\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx =$

• (A)

  $\tan \frac{x}{2} + \sec \frac{x}{2} + c$

• (B)

  $x \sec \frac{x}{2} + c$

• (C)

  $x \tan \frac{x}{2} + c$

• (D)

  $\sec \frac{x}{2} - \tan \frac{x}{2} + c$

Q.2

यदि $\int \frac{24e^{-x} - 14e^x}{9e^x - 4e^{-x}} dx = Ax + B \log (9e^{2x} - 4) + c$ हो, तो $(A + 9B)$ का मान है -

• (A)

  0

• (B)

  14

• (C)

  15

• (D)

  26

Q.3

वक्र $x = a(\theta - \sin \theta)$, $y = a(1 - \cos \theta)$ के बिन्दु $\theta = \frac{\pi}{2}$ पर अभिलम्ब का समीकरण है -

• (A)

  $x + y + \frac{a\pi}{2} = 0$

• (B)

  $x - y + \frac{a\pi}{2} = 0$

• (C)

  $x + y - \frac{a\pi}{2} = 0$

• (D)

  $x - y - \frac{a\pi}{2} = 0$

Q.4

अन्तराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में वक्रों $y = \tan x$, $y = \cot x$ और $x$-अक्ष से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है -

• (A)

  $\log_e 2$

• (B)

  $\frac{1}{2} \log_e 2$

• (C)

  $\frac{1}{4} \log_e 2$

• (D)

  $2 \log_e 2$

Q.5

वृत्त $x^2 + y^2 = 9$ और सरल रेखा $x + y = 3$ द्वारा परिबद्ध लघु क्षेत्र का क्षेत्रफल है -

• (A)

  $\pi - 3$ वर्ग इकाई

• (B)

  $\frac{9\pi}{4} + \frac{9}{2}$ वर्ग इकाई

• (C)

  $\frac{9\pi}{4} - \frac{9}{2}$ वर्ग इकाई

• (D)

  $\pi + 3$ वर्ग इकाई

Q.6

दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इस प्रकार हैं कि $|2\vec{a} + 3\vec{b}| = |3\vec{a} + \vec{b}|$ और $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के मध्य कोण $60^{\circ}$ है। यदि $\frac{1}{8}\vec{a}$ एक इकाई सदिश है, तो $|\vec{b}|$ बराबर है -

• (A)

  8

• (B)

  5

• (C)

  3

• (D)

  1

Q.7

यदि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है, तो $\int_{0}^{100} e^{x-[x]} dx$ का मान है -

• (A)

  $100(e + 1)$

• (B)

  $10(e + 1)$

• (C)

  $99(e - 1)$

• (D)

  $100(e - 1)$

Q.8

$\vec{a}$, $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ तीन इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = 2$। $\vec{a}$, $\vec{b}$ के लम्बवत् है। यदि $\vec{c}$, $\vec{a}$ व $\vec{b}$ के साथ क्रमशः $\alpha$ व $\beta$ कोण बनाता हो, तो $(\cos^2 \alpha - \cos^2 \beta + \cos \beta)$ का मान है -

• (A)

  0

• (B)

  1

• (C)

  $\frac{1}{2}$

• (D)

  $\frac{1}{4}$

Q.9

दिया है, $\vec{a} = -\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ और $\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} - \hat{j}$, तो $\vec{a} - 6\vec{b}$ बराबर है

• (A)

  $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$

• (B)

  $2(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$

• (C)

  $3(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$

• (D)

  $4(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$

Q.10

दिया है $\vec{a} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$, एक सदिश $\vec{c}$ जिसका परिमाण 12 है, $(\vec{a} + \vec{b})$ और $(\vec{a} - \vec{b})$ दोनों के लम्बवत् है। सदिश $\vec{c}$ बराबर है -

• (A)

  $4(2\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k})$

• (B)

  $2(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$

• (C)

  $2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$

• (D)

  $4(2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})$

Q.11

संख्याएँ 3, 5, 7, 2k, 12, 16, 21, 24 आरोही क्रम में व्यवस्थित की गयी हैं। यदि इन संख्याओं का माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन 6 है, तो माध्यिका है -

• (A)

  8

• (B)

  9

• (C)

  10

• (D)

  11

Q.12

द्विघातीय समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिये संख्याएँ a, b और c एक पासे को तीन बार फेंक कर प्राप्त की जाती हैं। इस समीकरण के समान मूल होने की प्रायिकता है -

• (A)

  $\frac{1}{108}$

• (B)

  $\frac{1}{72}$

• (C)

  $\frac{1}{54}$

• (D)

  $\frac{5}{216}$

Q.13

एक यादृच्छिक चर X, माध्य 8 और प्रसरण 4 वाला एक द्विपद बंटन रखता है। यदि $P(X \leq 2) = \frac{k}{2^{16}}$, तो k बराबर है -

• (A)

  137

• (B)

  136

• (C)

  121

• (D)

  17

Q.14

8 संख्याओं x, y, 10, 12, 6, 12, 4, 8 का माध्य और प्रसरण क्रमशः 9 और 9.25 है। यदि $x > y$, तो $3x - 2y$ बराबर है -

• (A)

  7

• (B)

  13

• (C)

  25

• (D)

  36

Q.15

यदि $G = [a]$, एक 24 कोटि का चक्रीय समूह हो तथा $a^{1980} = a^n$ साथ ही $0 < n < 24$ हो, तो $n$ का मान है -

• (A)

  8

• (B)

  4

• (C)

  12

• (D)

  16

Q.16

यदि $a = (1\ 2\ 3)$ तथा $b = (2\ 1)$ दो क्रमचय हो, तो सममित समूह $S_3$ में समीकरण $ax = b$ का हल है -

• (A)

  (2 3)

• (B)

  (1 3 2)

• (C)

  (1 2 3)

• (D)

  (1 2)

Q.17

माना $S_3$, तीन अवयवों a, b, c का सममित समूह तथा $A_3$, तीन चिह्नों a, b, c का एकान्तर समूह है, तो $A_3$ के $S_3$ में भिन्न-भिन्न सहसमुच्चयों की संख्या है -

• (A)

  1

• (B)

  2

• (C)

  3

• (D)

  6

Q.18

यदि G एक अभाज्य कोटि का समूह है तो निम्न में से कौन सा कथन सत्य नहीं है ?

• (A)

  G एक सरल समूह है।

• (B)

  G एक चक्रीय समूह है।

• (C)

  G का एक उचित उप समूह है।

• (D)

  G एक आबेली समूह है।

Q.19

यदि M, सभी $m \times n$ क्रम की आव्यूहों को दर्शाता है, जिसके अवयव वास्तविक या सम्मिश्र संख्याएँ हों, तो (M, +) है -

• (A)

  एक समूह नहीं

• (B)

  एक चक्रीय समूह

• (C)

  परिमित आबेली समूह

• (D)

  एक अपरिमित आबेली समूह

Q.20

निम्न में से कौन सा बीजीय निकाय समूह नहीं है ?
(जहाँ $X_m$ गुणात्मक मॉड्यूलों m संक्रिया को दर्शाता है)

• (A)

  ({1, 10}, $X_{11}$)

• (B)

  ({1, 5}, $X_6$)

• (C)

  ({1, 2, 3}, $X_4$)

• (D)

  ({1, 2, 3, 4}, $X_5$)