Q.41
वक्र $y = x^3 - 6x^2 + 3x + 1$ का बिन्दु $(1, -1)$ पर वक्रता केन्द्र के निर्देशांक हैं -
- (A)
$\left( 36, \frac{43}{6} \right)$
- (B)
$\left( -36, \frac{43}{6} \right)$
- (C)
$\left( 36, -\frac{43}{6} \right)$
- (D)
$\left( -36, -\frac{43}{6} \right)$
RPSC वरिष्ठ अध्यापक (माध्यमिक शिक्षा) पेपर II गणित 2025
150 सवाल · पेज 3/8
Q.42
$$\frac{\Gamma\left(\frac{1}{3}\right) \Gamma\left(\frac{5}{6}\right)}{\Gamma\left(\frac{2}{3}\right)}$$ बराबर है -
- (A)
$$\sqrt{\frac{\pi}{2}}$$
- (B)
$$\frac{\sqrt{\pi}}{2^{\frac{1}{3}}}$$
- (C)
$$\frac{\sqrt{\pi}}{2}$$
- (D)
$$\frac{3 \sqrt{\pi}}{2^{\frac{1}{3}}}$$
Q.43
$$\int_{0}^{1} \log \Gamma(x) dx$$ बराबर है -
- (A)
$$\frac{\pi}{2} \log_{e}(2 \pi)$$
- (B)
$$\frac{1}{2} \log_{e}(2 \pi)$$
- (C)
$$\frac{2}{\pi} \log_{e}(2 \pi)$$
- (D)
$$\log_{e}(2 \pi)$$
Q.44
कार्डियोइड $r = a(1+\cos \theta)$ के अन्दर तथा वृत्त $r = a$ के बाहर स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल है
- (A)
$\frac{1}{2}a^2[\pi + 8]$
- (B)
$\frac{1}{4}a^2[\pi + 4]$
- (C)
$\frac{1}{4}a^2[\pi + 8]$
- (D)
None
Q.45
वक्र $y^{2}(2a - x) = x^{3}$ के लिए निम्न में से कौन सा कथन असत्य है ?
- (A)
वक्र $x$-अक्ष के परित: सममित है।
- (B)
मूल बिन्दु नोड है।
- (C)
$x = 2a$ एक अनन्त स्पर्शी है।
- (D)
वक्र रेखाओं $x = 0$ तथा $x = 2a$ के मध्य स्थित है।
Q.46
वक्र $y^2 = (a-x)x^2$ के लूप के $x$-अक्ष के परितः परिक्रमण से जनित घनाकृति का आयतन है
- (A)
$\frac{3}{4} \pi a^4$
- (B)
$\frac{1}{4} \pi a^4$
- (C)
$\frac{\pi}{12} a^4$
- (D)
$\frac{\pi}{12} \pi a^4$
Q.47
अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y (\log y - \log x + 1)$ का सामान्य हल है -
- (A)
$y = ce^x$
- (B)
$y = e^{cx}$
- (C)
$y = xe^{cx}$
- (D)
$y = x^2 e^{cx}$
Q.48
अवकल समीकरण $2x \frac{dy}{dx} - y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - y = 0$ का विचित्र हल है -
- (A)
$2x - y = 0$
- (B)
$2x - y^2 = 0$
- (C)
$x^2 - y^2 = 0$
- (D)
$x^2 - y = 0$
Q.49
अवकल समीकरण $y(2xy + e^x) dx = e^x dy$ का सामान्य हल है -
- (A)
$x^2y + e^x = cy$
- (B)
$xy + e^x = cy$
- (C)
$xy^2 + e^x = cy$
- (D)
$x^2y + e^x = cy^2$
Q.50
$\int_{0}^{4} \int_{0}^{2\sqrt{z}} \int_{0}^{\sqrt{4z - x^2}} dz \, dx \, dy$ का मान है -
- (A)
$4\pi$
- (B)
$6\pi$
- (C)
$8\pi$
- (D)
$12\pi$
Q.51
अवकल समीकरण $x^2 \frac{d^2y}{dx^2} - 2x \frac{dy}{dx} - 4y = x^4$ का पूरक फलन है -
- (A)
$ax^4 + bx^{-1}$
- (B)
$ax^4 + bx$
- (C)
$(a + bx) e^{2x}$
- (D)
$ae^{4x} + be^{-x}$
Q.52
समीकरण $y^2(1 + 4p^2) - 2pxy - 1 = 0$ का विचित्र हल है
(जहाँ $p = \frac{dy}{dx}$)
- (A)
$x^2 + 4y^2 + 4 = 0$
- (B)
$x^2 - 4y^2 + 1 = 0$
- (C)
$x^2 - 4y^2 + 4 = 0$
- (D)
$x^2 - 4y^2 - 4 = 0$
Q.53
अवकल समीकरण $y^3 \frac{d^2y}{dx^2} = 1$ का सामान्य हल है -
- (A)
$ax - b = \sqrt{ay^2 - 1}$
- (B)
$ax - b = \frac{1}{\sqrt{ay^2 - 1}}$
- (C)
$ay - b = x\sqrt{ay^2 - 1}$
- (D)
$ay - b = \frac{x}{\sqrt{ay^2 - 1}}$
Q.54
द्वितीय कोटि की रैखिक अवकल समीकरण को हल करने हेतु प्राचल विचरण विधि का प्रयोग कर सकते हैं यदि -
- (A)
विशिष्ट समाकल ज्ञात हो।
- (B)
सम्पूर्ण पूरक फलन ज्ञात हो।
- (C)
पूरक फलन का केवल एक भाग ज्ञात हो।
- (D)
सभी स्थितियों में।
Q.55
बिन्दु $(3, 1, 2)$ पर फलन $\phi = xy + yz + zx$ का सदिश $2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ की दिशा में दिक् अवकलज है -
- (A)
$\frac{24}{7}$
- (B)
$\frac{45}{7}$
- (C)
$\frac{6}{7}$
- (D)
$\frac{15}{7}$
Q.56
यदि $\phi$ तथा $\psi$ अवकलनीय अदिश फलन हैं, तब $\text{div}(\text{grad } \phi \times \text{grad } \psi)$ होगा -
- (A)
$\Sigma i \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} \times \text{grad } \psi + \text{grad } \phi \times \Sigma i \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}$
- (B)
$\Sigma i \frac{\partial \phi}{\partial x} \times \text{grad } \psi + \text{grad } \phi \times \Sigma i \frac{\partial \psi}{\partial x}$
- (C)
$\nabla^2 \phi + \nabla^2 \psi$
- (D)
शून्य
Q.57
यदि द्वितीय कोटि की रैखिक अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} + p\frac{dy}{dx} + Qy = R$ का $y = x^3$ पूरक फलन का एक भाग हो, तो निम्न में से कौन सा सत्य है ?
- (A)
$6 + 2Px + Qx^2 = 0$
- (B)
$6 - 2Px + Qx^2 = 0$
- (C)
$6 + 3Px - Qx^2 = 0$
- (D)
$6 + 3Px + Qx^2 = 0$
Q.58
यदि $\vec{F} = f_1\hat{i} + f_2\hat{j} + f_3\hat{k}$ एक अवकलनीय सदिश क्षेत्र किसी बन्द वक्र $c$ से घिरे हुए पृष्ठ $s$ पर परिभाषित है तथा पृष्ठ $s$ पर $\hat{n} = \cos\alpha\hat{i} + \cos\beta\hat{j} + \cos\gamma\hat{k}$ इकाई अभिलम्ब सदिश है, तब $\int_c \vec{F} \cdot d\vec{r}$ बराबर है -
- (A)
$\iint_s \left[ \left( \frac{\partial f_2}{\partial z} \cos\beta - \frac{\partial f_3}{\partial y} \cos\gamma \right) + \left( \frac{\partial f_3}{\partial x} \cos\gamma - \frac{\partial f_1}{\partial z} \cos\alpha \right) + \left( \frac{\partial f_1}{\partial y} \cos\alpha - \frac{\partial f_2}{\partial x} \cos\beta \right) \right] ds$
- (B)
$\iint_s \left[ \left( \frac{\partial f_1}{\partial z} \cos\beta - \frac{\partial f_1}{\partial y} \cos\gamma \right) + \left( \frac{\partial f_2}{\partial x} \cos\gamma - \frac{\partial f_2}{\partial z} \cos\alpha \right) + \left( \frac{\partial f_3}{\partial y} \cos\alpha - \frac{\partial f_3}{\partial x} \cos\beta \right) \right] ds$
- (C)
$\iint_s \left[ \left( \frac{\partial f_1}{\partial z} - \frac{\partial f_1}{\partial y} \right) \cos\alpha + \left( \frac{\partial f_2}{\partial x} - \frac{\partial f_2}{\partial z} \right) \cos\beta + \left( \frac{\partial f_3}{\partial y} - \frac{\partial f_3}{\partial x} \right) \cos\gamma \right] ds$
- (D)
$\iint_s \left[ \left( \frac{\partial f_1}{\partial z} - \frac{\partial f_2}{\partial y} \right) \cos\alpha + \left( \frac{\partial f_2}{\partial x} - \frac{\partial f_3}{\partial z} \right) \cos\beta + \left( \frac{\partial f_3}{\partial y} - \frac{\partial f_1}{\partial x} \right) \cos\gamma \right] ds$
Q.59
यदि $\mathbf{F} = x\hat{i} - y\hat{j} + (z^2 - 1)\hat{k}$ तथा बेलन $s$ पृष्ठ $z = 0, z = 1$ तथा $x^2 + y^2 = 4$ द्वारा बनाया गया है, तो $\int_s \mathbf{F} \cdot \hat{n} \, ds$ का मान है (जहाँ $\hat{n}$ पृष्ठ $s$ के अभिलम्ब इकाई सदिश है) -
- (A)
$2\pi$
- (B)
$4\pi$
- (C)
$8\pi$
- (D)
$16\pi$
Q.60
यदि $C$, प्रथम चतुर्थांश से रेखाओं $x = 1$ तथा $y = 1$ के द्वारा बनाए गए वर्ग की सीमा है, तब समाकल $\oint_C (xydy - y^2dx)$ का मान है -
- (A)
$\frac{1}{2}$
- (B)
$\frac{3}{2}$
- (C)
2
- (D)
$\frac{5}{2}$