RPSC वरिष्ठ अध्यापक (माध्यमिक शिक्षा) पेपर II गणित 2025

Q.141

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की उत्केन्द्रता $\frac{1}{2}$ हो तथा $x = 4$ इसकी एक नियता हो, तो $ab$ का मान है -

• (A)

  12

• (B)

  $2\sqrt{3}$

• (C)

  6

• (D)

  $\sqrt{6}$

Q.142

यदि रेखाओं $ax + by + c = 0$, $a'x + b'y + c = 0$, $ax + by + c' = 0$ और $a'x + b'y + c' = 0$ से बने चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्बवत् हैं, तो निम्न में से कौन सा सत्य है ?

• (A)

  $b^2 + c^2 = b'^2 + c'^2$

• (B)

  $c^2 + a^2 = c'^2 + a'^2$

• (C)

  $a^2 + b^2 = a'^2 + b'^2$

• (D)

  $b^2 - c^2 = b'^2 - c'^2$

Q.143

सरल रेखा $\frac{x+3}{10} = \frac{y-2}{-7} = \frac{z}{1}$ पर बिन्दु $(2, -1, 4)$ से खींचे गये लम्ब की लम्बाई है -

• (A)

  $\frac{5}{2}$ इकाई

• (B)

  $\frac{5}{4}$ इकाई

• (C)

  $\frac{5\sqrt{2}}{4}$ इकाई

• (D)

  $\frac{5\sqrt{2}}{2}$ इकाई

Q.144

$y$-अक्ष के समांतर तथा समतलों $x - y + z - 1 = 0$ और $2x - 3y + z + 2 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिन्दुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण है -

• (A)

  $x + 2z - 5 = 0$

• (B)

  $x - 2z + 5 = 0$

• (C)

  $x + 2z + 5 = 0$

• (D)

  $x + z + 5 = 0$

Q.145

एक समतल, बिन्दु $(-4, 2, 1)$ तथा बिन्दु $(2, -2, 3)$ को जोड़ने वाले रेखा खण्ड को लम्बवत् रूप से समद्विभाजित करता है । इस समतल और समतल $2x + y + 3z = 1$ के बीच न्यूनकोण है -

• (A)

  $\frac{\pi}{6}$

• (B)

  $\frac{\pi}{4}$

• (C)

  $\frac{\pi}{3}$

• (D)

  $\frac{\pi}{8}$

Q.146

सरल रेखा $y = x$ तथा वृत्त $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 12 = 0$ के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्मित जीवा की लंबाई है -

• (A)

  $5$ इकाई

• (B)

  $5\sqrt{2}$ इकाई

• (C)

  $4\sqrt{2}$ इकाई

• (D)

  $4$ इकाई

Q.147

यदि $f(x) = |x|^{|\sin x|}$, तो $f'\left(\frac{-\pi}{4}\right)$ बराबर है -

• (A)

  $\left(\frac{\pi}{4}\right)^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left[ \sqrt{2} \log \frac{4}{\pi} - \frac{2\sqrt{2}}{\pi} \right]$

• (B)

  $\left(\frac{\pi}{4}\right)^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left[ \frac{\sqrt{2}}{2} \log \frac{4}{\pi} - \frac{2\sqrt{2}}{\pi} \right]$

• (C)

  $\left(\frac{\pi}{4}\right)^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left[ \sqrt{2} \log \frac{4}{\pi} + \frac{2\sqrt{2}}{\pi} \right]$

• (D)

  $\left(\frac{\pi}{4}\right)^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left[ \frac{\sqrt{2}}{2} \log \frac{4}{\pi} + \frac{2\sqrt{2}}{\pi^2} \right]$

Q.148

यदि $x^2y^k = (x + y)^{k+2}$ हो, तो $xdy - ydx$ बराबर है -

• (A)

  1

• (B)

  -1

• (C)

  2

• (D)

  0

Q.149

$x$ के वास्तविक मानों के लिये $f(x) = 3^{x+1} + 3^{-(x+1)}$ का न्यूनतम मान है -

• (A)

  0

• (B)

  1

• (C)

  2

• (D)

  3

Q.150

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{4^x + 8^x + 16^x}{3} \right)^{\frac{1}{x}} =$

• (A)

  4

• (B)

  8

• (C)

  12

• (D)

  16