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Q.61
मूल बिन्दु से गुजरने वाले उस गोले का समीकरण, जो गोले $x^2 + y^2 + z^2 - x + 3y + 2z - 3 = 0$ को $(1, 1, -1)$ पर स्पर्श करता है, है -
$x^2 + y^2 + z^2 - 3x + y + 4z = 0$
$x^2 + y^2 + z^2 - 3x - 4y - 4z = 0$
$2(x^2 + y^2 + z^2) + 3x + y + 4z = 0$
$2(x^2 + y^2 + z^2) - 3x + y + 4z = 0$
Q.62
यदि $\phi(x, y, z)$ एक एकल मान अदिश बिंदु फलन है, क्षेत्र $R$ में सतत अवकलनीय है तथा $\vec{F} = \vec{\nabla} \phi$, तब $\vec{F}$ होगा -
परिनालकीय एवं अघूर्णनीय दोनों
परिनालकीय
घूर्णनीय
अघूर्णनीय
Q.63
उस गोले का समीकरण, जिसका वृत्त $x^2 + y^2 + z^2 = 9, x - 2y + 2z = 5$ एक बृहत् वृत्त हो, है -
$9(x^2 + y^2 + z^2) + 10x - 20y + 20z - 131 = 0$
$9(x^2 + y^2 + z^2) - 10x + 20y - 20z - 31 = 0$
$9(x^2 + y^2 + z^2) + 10x + 20y + 20z - 31 = 0$
$9(x^2 + y^2 + z^2) - 10x + 20y - 20z - 131 = 0$
Q.64
शंकु $2x^2 + 2y^2 + 7z^2 - 10yz - 10xz = 0$, के व्युत्क्रम शंकु की समीकरण में $xy$ का गुणांक होगा -
0
25
50
70
Q.65
उस तल का समीकरण, जो शंकु $x^2 + 2y^2 - 3z^2 + 2yz - 5zx + 3xy = 0$ को दिक् अनुपात $(1, 1, 1)$ वाली जनक रेखा के सहारे स्पर्श करता है, है -
$x = z$
$y = z$
$x = y$
$x = y + 1$
Q.66
समतल $ax + by + cz + d = 0$ का गोले $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$ के सापेक्ष ध्रुव है -
$(\frac{ad}{r^2}, \frac{bd}{r^2}, \frac{cd}{r^2})$
$(\frac{ar^2}{d}, \frac{br^2}{d}, \frac{cr^2}{d})$
$(-\frac{ad}{r^2}, -\frac{bd}{r^2}, -\frac{cd}{r^2})$
$(-\frac{ar^2}{d}, -\frac{br^2}{d}, -\frac{cr^2}{d})$
Q.67
बेलन का समीकरण जिसके जनक, रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{3}$ के समान्तर हैं तथा जिसका नियामक वक्र, दीर्घवृत्त $x^2 + 2y^2 = 1$, $z = 0$ है, है -
$x^2 + y^2 + z^2 - 6xz + 12yz = 1$
$3(x^2 + 2y^2 + z^2) - 2xz + 8yz = 3$
$(x^2 + y^2 + 2z^2) - 2xz = 3$
$x^2 + 2y^2 + z^2 - 6xz + 12yz = 0$
Q.68
उस लम्बवृत्तीय बेलन का समीकरण, जिसका अक्ष $x$-अक्ष तथा त्रिज्या 2 हो, है -
$y^2 + z^2 = 2$
$y^2 + z^2 = 4$
$y^2 + z^2 = \frac{1}{2}$
$y^2 + z^2 = \frac{1}{4}$
Q.69
दो समान बलों का परिणामी, जब उनके मध्य कोण $2\alpha$ है, उनके उस परिणामी का $\frac{3}{2}$ गुना है, जब उनके मध्य कोण $2\beta$ हो, तो निम्न में से कौन सा सत्य है ?
$2 \tan \alpha = 3 \tan \beta$
$2 \sin \alpha = 3 \sin \beta$
$2 \cos \alpha = 3 \cos \beta$
$2 \cot \alpha = 3 \cot \beta$
Q.70
रेखा $\frac{x}{l} = \frac{y}{m} = \frac{z}{n}$ शंकु $x^2 - 2y^2 + 3z^2 = 0$ की जनक रेखा होगा यदि
$\frac{1}{l^2} - \frac{2}{m^2} + \frac{3}{n^2} = 0$
$\frac{1}{l^2} - \frac{3}{m^2} + \frac{2}{n^2} = 0$
$l^2 - 2m^2 + 3n^2 = 0$
$l^2 + 3m^2 + 2n^2 = 0$
Q.71
दो समान्तर बल P तथा Q (P > Q) क्रमशः बिन्दुओं A और B पर कार्यरत हैं। जब P तथा Q समदिश हैं तो इनका परिणामी बिन्दु C पर कार्यरत है, जब P तथा Q विपरीत दिशा में हैं, तब इनका परिणामी बिन्दु D पर कार्यरत है, तो CD बराबर है -
$\left(\frac{PQ}{P^2 - Q^2}\right) AB$
$\left(\frac{2PQ}{P^2 - Q^2}\right) AB$
$\frac{PQ}{P^2 - Q^2}$
$\frac{2PQ}{P^2 - Q^2}$
Q.72
यदि एक कण, एक वृत्तीय पथ $s = a\theta$ तथा $p = a$ पर चलता है, (जहाँ $s, a, \theta, p$ सामान्य संकेतन में हैं), तो निम्न में से कौन सा सत्य नहीं है ?
स्पर्श रेखीय वेग = अनुप्रस्थ वेग
अभिलाम्बिक वेग = अरीय वेग
अभिलाम्बिक वेग = 0
अभिलाम्बिक त्वरण = अनुप्रस्थ त्वरण
Q.73
एक बिन्दु O पर क्रियाशील दो बल P तथा Q का परिणामी R है। यदि एक तिर्यक रेखा बलों P, Q, R की क्रिया रेखाओं को क्रमशः बिन्दु A, B, C पर काटती है, तब $OC \left( \frac{P}{OA} + \frac{Q}{OB} \right)$ का मान है -
3R
2R
$\frac{R}{2}$
R
Q.74
एक पिण्ड को वेग $\sqrt{gR}$ मीटर प्रति सेकण्ड से फेंका जाता है तथा जिसका महत्तम क्षैतिज परास R है तो इस स्थिति में उसके द्वारा प्राप्त महत्तम ऊँचाई है -
$\frac{R}{2}$ मीटर
$\frac{R}{3}$ मीटर
$\frac{R}{4}$ मीटर
R मीटर
Q.75
कथनों I तथा II में से कौन सा/कौन से कथन सत्य है/हैं ?
कथन-I : रैखिक प्रोग्रामन समस्या के सुसंगत हलों का अरिक्त समुच्चय सदैव संवृत अवमुख समुच्चय होता है ।
कथन-II : यदि रैखिक प्रोग्रामन समस्या के सुसंगत हलों का समुच्चय अरिक्त है, तब उद्देश्य फलन का सदैव एक निम्नतम मान होता है ।
केवल कथन-I
केवल कथन-II
दोनों I तथा II कथन
ना तो कथन I ना ही II
Q.76
एक कण u वेग से प्रस्थान करता है तथा वह मंदन के अधीन गतिमान है जो कि तय की दूरी के k गुणा के बराबर है, तो विरामावस्था में आने से पूर्व इसके द्वारा तय की गई दूरी है -
$\sqrt{uk}$
$2\sqrt{uk}$
$\frac{u}{\sqrt{k}}$
$\frac{u}{2\sqrt{k}}$
Q.77
रैखिक प्रोग्रामन समस्या के लिए
अधिकतम $Z = x + 3y$
प्रतिबन्ध $3x + 2y \le 6$
$3x + y = 4$
तथा $x, y \ge 0$,
की द्वैती समस्या का कथन है -
निम्नतम $Z_D = 6w_1 + 4w_2 + 4w_3$
प्रतिबन्ध $3w_1 + 3w_2 - 3w_3 \ge 1$
$2w_1 + w_2 - w_3 \ge 3$
तथा $w_1, w_2, w_3 \ge 0$
निम्नतम $Z_D = 6w_1 + 4w_2 - 4w_3$
प्रतिबन्ध $3w_1 + 3w_2 - 3w_3 \ge 1$
$2w_1 + w_2 - w_3 \ge 3$
तथा $w_1, w_2, w_3 \ge 0$
निम्नतम $Z_D = 6w_1 + 4w_2 - 4w_3$
प्रतिबन्ध $3w_1 + 3w_2 + 3w_3 \ge 1$
$2w_1 + w_2 + w_3 \ge 3$
तथा $w_1, w_2, w_3 \ge 0$
निम्नतम $Z_D = 6w_1 + 4w_2 - 4w_3$
प्रतिबन्ध $3w_1 - 3w_2 - 3w_3 \ge 1$
$2w_1 - w_2 - w_3 \ge 3$
तथा $w_1, w_2, w_3 \ge 0$
Q.78
रैखिक प्रोग्रामन समस्या $Max z= 3x_1+2x_2$ s.t $2x_1+x_2 \le 2$; $3x_1+4x_2 \ge 12$ तथा $x_1, x_2 \ge 0$ का हल होगा
सुसंगत हल
कोई सुसंगत हल नहीं
इष्टतम हल
अपरिबद्ध हल
Q.79
निम्न में से कौन सी व्यूहरचना परिवहन समस्या का आधार नहीं बना सकती है ?
| $x_{11}$ | $x_{12}$ | ||
|---|---|---|---|
| $x_{21}$ | $x_{23}$ | ||
| $x_{33}$ | $x_{34}$ |
| $x_{11}$ | $x_{12}$ | ||
|---|---|---|---|
| $x_{22}$ | $x_{23}$ | ||
| $x_{33}$ | $x_{34}$ |
| $x_{11}$ | $x_{12}$ | ||
|---|---|---|---|
| $x_{21}$ | $x_{22}$ | ||
| $x_{33}$ | $x_{34}$ |
| $x_{13}$ | |||
|---|---|---|---|
| $x_{21}$ | $x_{22}$ | $x_{23}$ | $x_{24}$ |
| $x_{32}$ |
Q.80
दी गई नियतन समस्या का इष्टतम नियतन है -
| मशीन | |||
|---|---|---|---|
| I | II | III | |
| कार्य 1 | 5 | 7 | 9 |
| कार्य 2 | 14 | 10 | 12 |
| कार्य 3 | 15 | 13 | 16 |
1 $\rightarrow$ I, 2 $\rightarrow$ III, 3 $\rightarrow$ II
1 $\rightarrow$ I, 2 $\rightarrow$ II, 3 $\rightarrow$ III
1 $\rightarrow$ II, 2 $\rightarrow$ I, 3 $\rightarrow$ III
1 $\rightarrow$ III, 2 $\rightarrow$ II, 3 $\rightarrow$ I