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Q.21
कथनों I तथा II में से कौन सा/कौन से कथन सत्य है/हैं ?
कथन-I : अपरिमित पूर्णांक समूह (z, +) के प्रत्येक अवयव का क्रम परिमित होता है।
कथन-II : नियमित क्रमचय समूह, गुणन समूह G = {1, -1, i, -i} के तुल्यकारी होता है।
केवल कथन-I
केवल कथन-II
दोनों कथन I तथा II
ना तो कथन I ना ही II
Q.22
माना G तथा G’ दो समूह हैं तथा f : G $\rightarrow$ G’ प्रतिचित्रण G से G’ पर एक समाकारिता है, यदि K, f की अष्टि हो, तब G’ है -
$\frac{K}{G}$ के तुल्यकारिक
$\frac{G}{K}$ के तुल्यकारिक
G के तुल्यकारिक
$\frac{K}{G}$ के एकैकी समाकारिता
Q.23
निम्न कथनों में से कौन सा कथन सदैव सत्य है ?
आबेली समूह का प्रत्येक अवयव स्वयं का प्रतिलोम होता है ।
समूह G = ({e, a, b}, ⋅) आवश्यक रूप से आबेली होगा ।
समूह G में यदि a, b ∈ G तथा a, b व ab का क्रम 2 है, तब ab ≠ ba
समूह G में यदि a, b ∈ G तब समीकरणों ax = b तथा ya = b के कई हल प्राप्त होंगे ।
Q.24
निम्न में से किस समुच्चय का उच्चक 1 नहीं है ?
$\{x \in Q \mid 0 < x < 1\}$
$\{\frac{n}{n+1}, \frac{n+2}{n+3}, \frac{n+4}{n+5}, \dots \}$, जहाँ $n \in N$
$\{x \in R \mid x = \frac{n-1}{n+6}, n \in N\}$
$\{1 + \frac{(-1)^n}{n} \mid n \in N\}$
Q.25
प्रतिचित्रण $f : (c, +) \rightarrow (c_0, \cdot)$, इस प्रकार से है कि $f(z) = e^z$ समूह $c$ से $c_0$ पर एक समाकारिता है । $f$ की अष्टि है –
$\{n\pi i : n \in Z\}$
$\{2n\pi i : n \in Z\}$
$\{\pi i\}$
$\{2\pi(n + 1)i : n \in Z\}$
Q.26
अनुक्रम $<x_n>$ इसके द्वारा परिभाषित किया $x_n = e^{-n} \forall n \in N$ है, -
0 पर अभिसृत
$\infty$ पर अभिसृत
$+\infty$ पर अपसारी
$-\infty$ पर अपसारी
Q.27
निम्न में से कौन सा कथन सत्य है ?
अचर अनुक्रम $\{S_n\}, S_n = 1 \forall n \in N$ तथा इसकी परास $\{1\}$ दोनों का सीमान्त बिन्दु नहीं है।
अनुक्रम $\{S_n\}, S_n = \frac{1}{n} \forall n \in N$ तथा इसकी परास $\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ...\}$ का समान सीमान्त बिन्दु है।
अपरिबद्ध अनुक्रम का वास्तविक सीमान्त बिन्दु नहीं होता है।
अनुक्रम $\{S_n\}, S_n = 1 + (-1)^n, n \in N$ का एक अद्वितीय सीमान्त बिन्दु है।
Q.28
श्रेणी $\Sigma u_n$ जहाँ $u_n = \frac{1}{4^n}$ (जहाँ $n \in N$) है -
$\frac{1}{4}$ को अभिसारी
$\frac{1}{3}$ को अभिसारी
$\frac{1}{3}$ का अपसारी
$\frac{1}{2}$ को अभिसारी
Q.29
$\lim_{z \to e^{(i\pi/4)}} \frac{z^2}{z^4 + z + 1}$ का मान बराबर है -
$\frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i)$
$\frac{1}{\sqrt{2}} (1 - i)$
$\sqrt{2} (1 + i)$
$\sqrt{2} (1 - i)$
Q.30
फलन $f(z) = e^{-2z}$, जहाँ $z = x + iy$ है का काल्पनिक भाग है -
$-e^{-2x} \cos 2y$
$-e^{-2x} \sin 2y$
$e^{-2x} \sin 2y$
$-e^{2x} \sin 2y$
Q.31
यदि $f(z) = u + iv$ एक वैश्लेषिक फलन है तथा $z = x + iy$, $u(x, y) = e^x \cos y$ प्रसंवादी फलन है तो इसका संयुग्मी प्रसंवादी फलन है -
$-e^x \cos y + c$
$e^x \sin y + c$
$e^y \cos x + c$
$-e^y \sin x + c$
Q.32
फलन $f(z) = z^2 + az + b$, जहाँ $z = x + iy$ है कौन से बिन्दु पर अनुकोण नहीं है ?
$\frac{b}{2}$
$\frac{-a}{2}$
$\frac{a}{2}$
$\frac{-b}{2}$
Q.33
निम्न में से कौन सा सत्य कथन है ?
परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q एक विवृत समुच्चय है।
पूर्णांकों का समुच्चय Z एक विवृत समुच्चय है।
परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q एक संवृत समुच्चय है।
पूर्णांकों का समुच्चय Z एक संवृत समुच्चय है।
Q.34
दिए गए बिन्दु $(3 + 4i)$ का रूपान्तरण $w = iz + (2 - i)$ के अन्तर्गत प्रतिबिम्ब है -
$2(-1 + i)$
$2(1 - i)$
$-1 + i$
$1 - i$
Q.35
वक्र $y = f(x)$ के एक बिन्दु $P(x, y)$ पर स्पर्शी, $x$-अक्ष के साथ $60^{\circ}$ कोण बनाती है, वक्र के बिन्दु $P$ पर चाप की लम्बाई का $y$ के सापेक्ष अवकलन होगा -
$\frac{2}{\sqrt{3}}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{1}{2}$
$\sqrt{3}$
Q.36
वक्र $y = e^x$ और $y$-अक्ष के प्रतिच्छेदन वाले बिन्दु पर वक्र की वक्रता त्रिज्या है -
$\sqrt{2}$
$2\sqrt{2}$
$3\sqrt{2}$
$\frac{1}{\sqrt{2}}$
Q.37
द्विरैखिक रूपान्तरण, जो $z$-समतल के $0, i, -i$ को $w$-समतल के $1, -1, 0$ में प्रतिचित्रण करता है, है -
$w = \frac{z - i}{3z + i}$
$w = \frac{-3z + i}{z + i}$
$w = \frac{z + i}{3z + i}$
$w = \frac{z + i}{-3z + i}$
Q.38
यदि $u = \log \left[ \frac{x^4 + y^4 + x^2y^2}{x + y + \sqrt{xy}} \right]$, तब $x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y}$ बराबर है -
1
-1
3
-3
Q.39
फलन $f(x, y) = xy - x^2 - y^2 - 2x - 2y + 4$ का अधिकतम मान है -
6
8
10
12
Q.40
निम्न में से कौन सा कथन सत्य है ?
केन्द्रज का केन्द्र बिन्दु मूल वक्र के सापेक्ष नति परिवर्तन बिन्दु होता है।
केन्द्रज के किसी बिन्दु पर अभिलम्ब, मूल वक्र का अभिलम्ब होता है।
अन्वालोप के उभयाग्र के सापेक्ष मूल वक्र का अधिकतम वक्रता बिन्दु होता है।
अन्वालोप मूल वक्र के सामान्य उभयाग्र बिन्दु से गुजरता है।