RPSC वरिष्ठ अध्यापक (संस्कृत शिक्षा) पेपर II गणित 2022

Q.21

$\Delta ABC$ जिसके शीर्ष $A(1, 0)$, $B(-2, 1)$ तथा $C(5, 2)$ है, का लम्बकेन्द्र है

• (A)

  $(2, 7)$

• (B)

  $(-2, 7)$

• (C)

  $(2, -7)$

• (D)

  $(-2, -7)$

Q.22

वृत्त $x^2 + y^2 = 2$ और परवलय $y^2 = 8x$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा(ओं) का समीकरण है

• (A)

  $x \pm y - 2 = 0$

• (B)

  $x \pm y + 2 = 0$

• (C)

  $2x - y - 2 = 0$

• (D)

  $2x + y - 2 = 0$

Q.23

$A(6, 3) ; B(-3, 5) ; C(4, -2) ; D(x, 3x)$ चार बिन्दु हैं। यदि $\Delta DBC$ और $\Delta ABC$ के क्षेत्रफल $1 : 2$ के अनुपात में हैं, तो $x$ बराबर है

• (A)

  $\frac{8}{11}$

• (B)

  $\frac{11}{8}$

• (C)

  $\frac{7}{8}$

• (D)

  $\frac{8}{7}$

Q.24

यदि किसी बिन्दु से परवलय $y^2 = 4ax$ पर खींचे गये अभिलम्ब परवलय को बिन्दुओं $(\xi_1, \eta_1), (\xi_2, \eta_2)$ तथा $(\xi_3, \eta_3)$ पर मिलते हों, तो निम्न में से कौन सा सत्य है?

• (A)

  $\xi_1 + \xi_2 + \xi_3 = 0$

• (B)

  $\eta_1 + \eta_2 + \eta_3 = 0$

• (C)

  $\eta_1 + \eta_2 + \eta_3 = \text{अचर}$

• (D)

  $\xi_1 + \xi_2 + \xi_3 = \eta_1 + \eta_2 + \eta_3$

Q.25

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 1$ की नाभीय जीवाओं के मध्य बिन्दुओं का बिंदुपथ है

• (A)

  $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = \frac{ey}{a}$

• (B)

  $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = \frac{ex}{a}$

• (C)

  $x^2 + y^2 = a^2 + 4$

• (D)

  $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = \frac{ex}{2}$

Q.26

शांकव $\frac{l}{r} = 1 + e \cos \theta$ के अनन्तस्पर्शियों का समीकरण है

• (A)

  $\sqrt{(e^2 - 1)} [\cos \theta \pm \sin \theta] = \frac{le}{r}$

• (B)

  $(e^2 - 1) \cos \theta \pm \sqrt{(e^2 - 1)} \sin \theta = \frac{le}{r}$

• (C)

  $\sqrt{(e^2 - 1)} \cos \theta \pm (e^2 - 1) \sin \theta = \frac{le}{r}$

• (D)

  $(e^2 - 1) \cos \theta \pm \sqrt{(e^2 - 1)} \sin \theta = \frac{rl}{e}$

Q.27

यदि बिन्दुओं $A, B, C, D$ के निर्देशांक क्रमशः $(1, 2, 5), (-2, 1, 3), (4, 4, 2)$ तथा $(2, 1, -4)$ हों तथा $AB$ का $CD$ पर प्रक्षेप $\xi^2 + 4$ हो, तो $\xi$ बराबर होगा

• (A)

  -1

• (B)

  1

• (C)

  0

• (D)

  कोई भी वास्तविक मान संभव नहीं

Q.28

समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 19$ तथा $\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}) + 3 = 0$ के मध्य कोण के अर्धक समतल का समीकरण है

• (A)

  $\vec{r} \cdot (25\hat{i} + 17\hat{j} - 62\hat{k}) = 238$

• (B)

  $\vec{r} \cdot (\hat{i} - 35\hat{j} + 10\hat{k}) = 256$

• (C)

  $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 35\hat{j} - 10\hat{k}) = 256$

• (D)

  $\vec{r} \cdot (25\hat{i} + 17\hat{j} + 62\hat{k}) = 256$

Q.29

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 3^x}{\{\sqrt[3]{1+x} - 1\}}$ बराबर है

• (A)

  $3 \log \left(\frac{1}{3}\right)$

• (B)

  $\log \left(\frac{e}{3}\right)$

• (C)

  $3 \log \left(\frac{e}{3}\right)$

• (D)

  $3 \log \left(\frac{3}{e}\right)$

Q.30

यदि $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{यदि } x \in Q \\ -x^2, & \text{यदि } x \notin Q \end{cases}$, तब $f$ है

• (A)

  $x = 1$ पर संतत

• (B)

  $x = 0$ पर संतत

• (C)

  $x = -1$ पर संतत

• (D)

  सर्वत्र असंतत

Q.31

यदि फलन $f(x) = x^3 + e^{x/3}$ तथा $x$ के कुछ मानों के लिये $f(x) = g^{-1}(x)$ हो, तब $g'(1)$ का मान है

• (A)

  2

• (B)

  3

• (C)

  1

• (D)

  0

Q.32

एक $C$ का वह मान जिसके फलन $f(x) = \log_e x$ के लिए अन्तराल $[1, 4]$ में लग्रांज मध्यमान प्रमेय का निष्कर्ष सत्यापित होता है, होगा

• (A)

  $\log_e 4$

• (B)

  $\log_4 e$

• (C)

  $3 \log_4 e$

• (D)

  $\frac{1}{2} \log_e 4$

Q.33

फलन $f(x) = x^3 e^{-x}$ एकदिष्ट वर्धमान है

• (A)

  केवल $-3 < x < 0$ के लिए

• (B)

  $x < 3$ के लिए

• (C)

  $x > 3$ के लिए

• (D)

  कभी नहीं

Q.34

एक वक्र के किसी बिन्दु पर स्पर्श-रेखा की प्रवणता उस बिन्दु को मूल बिन्दु से मिलाने वाली रेखा की प्रवणता की तिगुनी हो, तो वह वक्र है

• (A)

  वृत्त $(x^2 + y^2 = c^2)$

• (B)

  परवलय $(y^2 = 4ax)$

• (C)

  अर्ध घन परवलय $(y = cx^3)$

• (D)

  अतिपरवलय $(x^2 - y^2 = c^2)$

Q.35

फलन $f(x) = x^3 - 12x^2 + 45x + 10$ का अन्तराल $[0, 6]$ में उच्चिष्ठ मान है

• (A)

  64

• (B)

  80

• (C)

  60

• (D)

  0

Q.36

समाकल अचरांक का कौन सा मान $x = \frac{\pi}{4}$ पर $\sin 3x \cos 5x$ के समाकल को शून्य कर देगा ?

• (A)

  $-\frac{1}{16}$

• (B)

  $\frac{1}{8}$

• (C)

  $\frac{1}{16}$

• (D)

  $0$

Q.37

$\int \tan^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx$ बराबर है

• (A)

  $\frac{x}{2} \cos^{-1} x + \frac{1}{2} \sqrt{1-x^2} + c$

• (B)

  $\frac{x}{2} \sin^{-1} x - \frac{1}{2} \sqrt{1-x^2} + c$

• (C)

  $\frac{x}{2} \cos^{-1} x - \frac{1}{2} \sqrt{1-x^2} + c$

• (D)

  $\frac{x}{2} \sin^{-1} x + \frac{\sqrt{1-x^2}}{2} + c$

Q.38

$\int_0^2 \log (\frac{2}{x} - 1) dx$ बराबर है

• (A)

  $2$

• (B)

  $1$

• (C)

  $0$

• (D)

  $\frac{\pi}{4}$

Q.39

यदि $\int_0^{t^2} x f(x) dx = \frac{2}{5} t^5; t > 0$ हो, तो $f(\frac{4}{9})$ बराबर है

• (A)

  $\frac{4}{5}$

• (B)

  $0$

• (C)

  $\frac{4}{9}$

• (D)

  $\frac{2}{3}$

Q.40

वक्रों $y = \sin 2x$, $y = \cos 2x$ तथा $y$-अक्ष के मध्य परिबद्ध प्रथम चतुर्थांश में स्थित क्षेत्रफल है

• (A)

  $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$

• (B)

  $\sqrt{2}-1$

• (C)

  $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$

• (D)

  $\sqrt{2}+1$