RPSC वरिष्ठ अध्यापक (संस्कृत शिक्षा) पेपर II गणित 2022

Q.61

यदि क्रमचय $f = (1 \ 3 \ 4 \ 2) \ (5 \ 8 \ 7) \ (9 \ 6)$, हो, तो $f$ का कोटि है

• (A)

  6

• (B)

  9

• (C)

  4

• (D)

  12

Q.62

यदि $G = [a]$, 8 कोटि का चक्रीय समूह हो, तब $a^2$ से जनित उपसमूह के संगत विभाग समूह है -

• (A)

  $\{a^2, a^4, a^6, a^8=e\}, \{a^3, a^5, a^7, a\}$

• (B)

  $\{a^4, a^8=e\}, \{a^5, a\}, \{a^6, a^2\}, \{a^7, a^3\}$

• (C)

  $\{a^2, a^4, a^8=e\}, \{a^3, a^5, a\}$

• (D)

  $\{a^2, a^4, a^6, a^8=e\}, \{a, a^3, a^5, a^7, a^2\}$

Q.63

समाकारिता $f : (C, +) \to (C, +); f(x + iy) = iy$ की अष्टि है

• (A)

  $C$

• (B)

  $\{i\}$

• (C)

  $R$

• (D)

  $N$

Q.64

गलत कथन है -

• (A)

  अपरिमित समूह के एक अपरिमित उपसमूह के परिमित सहसमुच्चय हो सकते हैं।

• (B)

  अपरिमित समूह के एक अपरिमित उपसमूह के अपरिमित सहसमुच्चय हो सकते हैं।

• (C)

  अपरिमित समूह के परिमित उपसमूह के अपरिमित सहसमुच्चय हो सकते हैं।

• (D)

  समूह $(G = \{0\}, +)$ का कोई सहसमुच्चय नहीं है।

Q.65

यदि $\xi_n = \left[\frac{1}{n}, 1\right] \forall n \in \mathbb{N}$ हो, तो $\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} \xi_n\right)$ के लिए सही कथन होगा

• (A)

  एक संवृत समुच्चय है।

• (B)

  एक विवृत समुच्चय है।

• (C)

  इसका सीमा बिन्दु “0” होगा।

• (D)

  इसका सीमा बिन्दु विद्यमान नहीं है।

Q.66

गलत कथन है -

• (A)

  यदि $<x_n>$, अनुक्रम हो, तो $<x_{2n}>$ इसकी उपानुक्रम होगी।

• (B)

  यदि $<x_n>$, अनुक्रम हो, तो $<x_{2n-1}>$ इसकी उपानुक्रम होगी।

• (C)

  यदि अनुक्रम $<x_n> = <0,1,2,3,4,...>$ हो, तो $<y_n> = <0,2,0,2,...>$ भी इसकी उपानुक्रम होगी।

• (D)

  यदि $<x_n>$, अनुक्रम हो, तो $<x_{n^2}>$ इसकी उपानुक्रम होगी।

Q.67

श्रेणी $1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + ...$ के लिए सही कथन है -

• (A)

  केवल $x < -1$ के लिए अपसारी है।

• (B)

  केवल $|x| < 1$ के लिए निरपेक्ष अभिसारी है।

• (C)

  केवल $x \ge 1$ के लिए अनन्त दोलनमयी है।

• (D)

  यह सभी

Q.68

फलन $f(z) = 2iy$ किस बिन्दु पर विश्लेषिक फलन है?

• (A)

  $z = 0$

• (B)

  $z = 1$

• (C)

  $z = 2$

• (D)

  कहीं नहीं

Q.69

$z$ के किस मान के लिये, $z = \sinh u \cos v + i \cosh u \sin v$ से परिभाषित फलन $w = u + iv$ विश्लेषिक होना समाप्त हो जाता है?

• (A)

  $z = 0$

• (B)

  $z = \pm 1$

• (C)

  $z = \pm i$

• (D)

  $z = \infty$

Q.70

$U(x, y) = \frac{1}{2} \log (x^2 + y^2)$ का संयुग्मी प्रसंवादी फलन बराबर है

• (A)

  $v = \frac{y}{x} + c$

• (B)

  $v = \tan^{-1} \left(\frac{y}{x}\right) + c$

• (C)

  $v = \log \left(\frac{y}{x}\right) + c$

• (D)

  $v = \cos^{-1} \left(\frac{y}{x}\right) + c$

Q.71

Z-समतल में रेखाओं $x = 0, y = 0$ और $\sqrt{3} x + y = 1$ से परिसीमित त्रिभुजाकार क्षेत्र का रूपान्तरण $w = e^{i\pi/3} Z$ के अन्तर्गत W-समतल में प्रतिबिम्ब क्षेत्र जिन रेखाओं से परिसीमित है, वे हैं -

• (A)

  $v = -\frac{1}{\sqrt{3}} u, v = \sqrt{3} u, v = 1$

• (B)

  $v = \frac{1}{\sqrt{3}} u, v = -\sqrt{3} u, v = \frac{1}{2}$

• (C)

  $v = -\frac{1}{\sqrt{3}} u, v = \sqrt{3} u, v = \frac{1}{2}$

• (D)

  $v = \frac{1}{\sqrt{3}} u, v = -\sqrt{3} u, v = 1$

Q.72

यदि स्पर्श-रेखा पर ध्रुव से लम्ब की लम्बाई 2 तथा ध्रुवान्तर रेखा की लम्बाई 3 हो, तो $\frac{ds}{dr}$ बराबर है -

• (A)

  $\frac{3}{5}$

• (B)

  $3\sqrt{5}$

• (C)

  $\frac{3}{2}$

• (D)

  $\frac{3\sqrt{5}}{5}$

Q.73

परवलय $y^2 = 8x$, पर वह बिन्दु, जहाँ वक्रता त्रिज्या $7 \frac{13}{16}$ है, होगा

• (A)

  $(3, \frac{9}{8})$

• (B)

  $(\frac{3}{2}, 3)$

• (C)

  $(\frac{9}{8}, -3)$

• (D)

  $(0, 0)$

Q.74

यदि फलन $f(x, y) = \begin{cases} 2^{x+y}, & \text{यदि } x+y \neq 0 \\ 1, & \text{यदि } x+y = 0, \end{cases}$ तब $\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{(1, -1)}$ बराबर है

• (A)

  विद्यमान नहीं

• (B)

  $\log 2$

• (C)

  0

• (D)

  2

Q.75

वक्र $r = a(1 - \cos \theta)$ की सम्पूर्ण लम्बाई है

• (A)

  $4 a$

• (B)

  $32 a$

• (C)

  $16 a$

• (D)

  $8 a$

Q.76

$\int_{0}^{1} \int_{1}^{x^2} \int_{2y}^{x+y} x \, dx \, dy \, dz$ बराबर है

• (A)

  $\frac{1}{30}$

• (B)

  $\frac{1}{15}$

• (C)

  $\frac{1}{10}$

• (D)

  $\frac{1}{6}$

Q.77

$x = 0$ और $x = \frac{\pi}{6}$ के मध्य वक्र $y = \log \sec x$ के चाप की लम्बाई बराबर है

• (A)

  $2 \log 3$

• (B)

  $-2 \log 3$

• (C)

  $\frac{1}{2} \log 3$

• (D)

  $-\frac{1}{2} \log 3$

Q.78

अवकल समीकरण $\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^{3/2} - \left(\frac{dy}{dx}\right)^{1/2} - 4 = 0$ की

• (A)

  कोटि 2 तथा घात 4 हैं।

• (B)

  कोटि 2 तथा घात 3 हैं।

• (C)

  कोटि 4 तथा घात 6 हैं।

• (D)

  कोटि 2 तथा घात 6 हैं।

Q.79

अवकल समीकरण $(y^2 e^x + 2 xy) \, dx - x^2 \, dy = 0$ का हल है

• (A)

  $e^x - \frac{x^2}{y} = c$

• (B)

  $e^x + \frac{x^2}{y} = c$

• (C)

  $e^{-x} - \frac{x^2}{y} = c$

• (D)

  $e^{-x} + \frac{x^2}{y} = c$

Q.80

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y = \frac{e^{-x}}{(1 - e^x)^2}$ का विशिष्ट समाकल है

• (A)

  $(\frac{1}{e^{2x} - e^{3x}})$

• (B)

  $(\frac{-e^{2x}}{1 - e^x})$

• (C)

  $\frac{e^{-2x}}{(e^x - 1)}$

• (D)

  $\frac{e^{-x}}{(e^{2x} - e^{3x})}$