RPSC वरिष्ठ अध्यापक (माध्यमिक शिक्षा) पेपर II गणित 2024

Q.21

यदि रैखिक अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} + P \frac{dy}{dx} + Qy = R$ के पूरक फलन का भाग $y = e^{mx}$ हो, तो निम्नलिखित में से कौनसा सत्य है?

• (A)

  $m^2 + mP + Q = 0$

• (B)

  $m^2 - Pm - Q = 1$

• (C)

  $m^2 - Pm - Q = 0$

• (D)

  $m^2 + mP + Q = 1$

Q.22

सिम्पसन के ‘$\frac{1}{3}$’ नियम में $f(x)$ को कई परवलयों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जिनका अक्ष है -

• (A)

  x-अक्ष के समान्तर

• (B)

  केवल y-अक्ष

• (C)

  केवल x-अक्ष

• (D)

  y-अक्ष के समान्तर

Q.23

वक्र $y = x^3$ और बिन्दु $(-1, -1)$ पर इसकी स्पर्श रेखा से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है -

• (A)

  $\frac{29}{4}$ वर्ग इकाई

• (B)

  $\frac{33}{4}$ वर्ग इकाई

• (C)

  $\frac{13}{2}$ वर्ग इकाई

• (D)

  $\frac{27}{4}$ वर्ग इकाई

Q.24

फलन $u = xy + 8 \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right)$ का न्यूनतम मान है -

• (A)

  8

• (B)

  4

• (C)

  12

• (D)

  16

Q.25

यदि P समान्तर चतुर्भुज ABCD का एक अन्तःबिन्दु है, तो निम्न में से कौनसा सही है?

• (A)

  क्षेत्र(APB) + क्षेत्र(PCD) = $\frac{1}{2}$क्षेत्र(ABCD)

• (B)

  क्षेत्र(APD) + क्षेत्र(PCD) = $\frac{1}{2}$क्षेत्र(ABCD)

• (C)

  क्षेत्र(APB) + क्षेत्र(PAD) = $\frac{1}{2}$क्षेत्र(ABCD)

• (D)

  क्षेत्र(APB) + क्षेत्र(PCB) = $\frac{1}{2}$क्षेत्र(ABCD)

Q.26

नीचे दो कथन दिए गए हैं -

(अ) अच्छे गणित शिक्षक अपने चिंतन पर जानबूझकर कार्य करते हैं और शिक्षण के विभिन्न तरीकों के साथ प्रयोग करते हैं।
(ब) गणित शिक्षक अपनी विशेषज्ञता के वर्तमान स्तर से कभी भी पूरी तरह संतुष्ट नहीं होते हैं और हमेशा सुधार करने की कोशिश करते रहते हैं।

निम्नलिखित में से सही उत्तर का चयन कीजिए -

• (A)

  (ब) सही है परन्तु (अ) गलत है।

• (B)

  (अ) एवं (ब) दोनों सही हैं और (ब), (अ) का सही स्पष्टीकरण है।

• (C)

  (अ) सही है परन्तु (ब) गलत है।

• (D)

  (अ) एवं (ब) दोनों सही हैं परन्तु (ब), (अ) का सही स्पष्टीकरण नहीं है।

Q.27

ABCD एक वर्ग है, जिसकी भुजा की लंबाई 4 मीटर है। 4, 5, 6 तथा 7 किग्रा भार के बल, वर्ग की क्रमवार भुजाओं के अनुदिश कार्यरत हैं, तो परिणामी का परिमाण है -

• (A)

  $3\sqrt{2}$ किग्रा भार

• (B)

  3 किग्रा भार

• (C)

  2 किग्रा भार

• (D)

  $2\sqrt{2}$ किग्रा भार

Q.28

यदि $f(a + b - x) = f(x)$ हो, तो $\int_{a}^{b} x f(x) dx$ बराबर है -

• (A)

  $\frac{(a+b)}{2} \int_{a}^{b} f(x) dx$

• (B)

  $\frac{(a-b)}{(a+b)} \int_{a}^{b} f(b - x) dx$

• (C)

  $\frac{(a+b)}{(a-b)} \int_{a}^{b} f(b + x) dx$

• (D)

  $\frac{(b-a)}{2} \int_{a}^{b} f(x) dx$

Q.29

एक ठोस बेलन, जिसकी ऊँचाई $15$ से.मी. और व्यास $16$ से.मी. है, में से समान ऊँचाई और समान व्यास का एक शंक्वाकार गुहा खोखला किया जाता है। शेष ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है -

• (A)

  $423\pi \text{ से.मी.}^2$

• (B)

  $425\pi \text{ से.मी.}^2$

• (C)

  $440\pi \text{ से.मी.}^2$

• (D)

  $432\pi \text{ से.मी.}^2$

Q.30

समुच्चय $S = \{-\frac{n+1}{n} : n \in \mathbb{N}\} \cup \{\frac{2n+1}{n} : n \in \mathbb{N}\}$ के सभी सीमा बिन्दुओं का समुच्चय है -

• (A)

  $\{-1\}$

• (B)

  $\{1, 2\}$

• (C)

  $\{2\}$

• (D)

  $\{-1, 2\}$

Q.31

आव्यूह समीकरण $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ के लिए संभावित आधारी हलों की अधिकतम संख्या है -

• (A)

  2

• (B)

  6

• (C)

  3

• (D)

  1

Q.32

एक ठोस अर्द्धगोला तथा एक ठोस शंकु समान त्रिज्या के हैं। यदि इनके सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल समान हों, तो अर्द्धगोला तथा शंकु के आयतनों में अनुपात है-

• (A)

  $1 : \sqrt{3}$

• (B)

  $2 : \sqrt{3}$

• (C)

  $2 : 3$

• (D)

  $1 : 3$

Q.33

अवकल समीकरण $y = px + a\sqrt{1 + p^2}$ का विचित्र हल, जहाँ $(p = \frac{dy}{dx})$, है -

• (A)

  $x^2 + y^2 = a^2$

• (B)

  $y^2 = 4ax$

• (C)

  $x^2 - y^2 = a^2$

• (D)

  $(y - cx)^2 = a^2(1 + c^2)$

Q.34

पृष्ठ $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ पर शीर्ष बिन्दु $(x_1, y_1, z_1)$ के अन्वालोपी शंकु का समीकरण है –

• (A)

  $(x^2 + y^2 + z^2 - 1) (x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 - 1) = (xx_1 + yy_1 + zz_1 - 1)^2$

• (B)

  $(x^2 + y^2 + z^2 - 1) (x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 - 1) = (xx_1 + yy_1 + zz_1 - 1)$

• (C)

  $(x^2 + y^2 + z^2 - 1)^2 (x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 - 1) = (xx_1 + yy_1 + zz_1 - 1)^2$

• (D)

  $(x^2 + y^2 + z^2 - 1) (x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 - 1)^2 = (xx_1 + yy_1 + zz_1 - 1)^2$

Q.35

निम्नलिखित में से कौनसा निगमनात्मक विधि के बारे में सही कथन नहीं है?

• (A)

  यह व्यक्तिगत सीखने की मांग करती है।

• (B)

  यह बच्चे को निष्क्रिय प्राप्तकर्ता के रूप में मानती है।

• (C)

  यह करके सीखने को प्रोत्साहित नहीं करती है।

• (D)

  यह मूर्त से अमूर्त की ओर बढ़ती है।

Q.36

निम्नलिखित में से कौन गणित की प्रकृति का वर्णन करते हैं?
(अ) मापन का विज्ञान
(ब) मात्रा का विज्ञान
(स) स्थानिक संबंधों का विज्ञान
(द) अमूर्तता का विज्ञान
सही कूट का चयन कीजिए -

• (A)

  केवल (अ), (ब) एवं (द)

• (B)

  केवल (अ) एवं (ब)

• (C)

  केवल (अ), (ब) एवं (स)

• (D)

  सभी (अ), (ब), (स) एवं (द)

Q.37

लम्ब वृत्तीय शंकु का समीकरण, जिसका शीर्ष मूल बिन्दु पर है, अक्ष $x$-अक्ष के अनुदिश है तथा अर्धशीर्ष कोण $\frac{\pi}{3}$ है, है -

• (A)

  $y^2 + z^2 = 3x^2$

• (B)

  $x^2 + y^2 = 3z^2$

• (C)

  $z^2 + x^2 = 2y^2$

• (D)

  $y^2 + z^2 = x^2$

Q.38

यदि आद्य समस्या अधिकतम $Z = cx$, प्रतिबंध $Ax \le b, x \ge 0$ का $x_0$ एक सुसंगत हल है तथा $w_0$ इस आद्य के द्वैत का सुसंगत हल है, तो निम्न में से कौनसा सत्य है?

• (A)

  $cx_0 \le b^T w_0$

• (B)

  $cx_0 = bw_0$

• (C)

  $cx_0 \ge b^T w_0$

• (D)

  $cx_0 \ge w_0^T b$

Q.39

फलन $f(x) = x^2 e^{-2x} ; x > 0$ का अधिकतम मान है -

• (A)

  $\frac{2}{e}$

• (B)

  $\frac{1}{e}$

• (C)

  $\frac{2}{e^2}$

• (D)

  $\frac{1}{e^2}$

Q.40

शंकु $ax^2 + by^2 + cz^2 + 2fyz + 2gzx + 2hxy = 0$ के तीन परस्पर लम्बवत् स्पर्शरेखा तल परस्पर समकोणिक हैं, तो निम्न में से कौनसा सही है?

• (A)

  $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$

• (B)

  $a + b + c = 0$

• (C)

  $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = 0$

• (D)

  $ab + bc + ca - f^2 - g^2 - h^2 = 0$