RPSC वरिष्ठ अध्यापक (माध्यमिक शिक्षा) पेपर II गणित 2024

Q.121

एक समकोण त्रिभुज $ABC$ में, $BC = 12$ से.मी., $AB = 5$ से.मी. और $B$ पर समकोण है। इस त्रिभुज के अन्तर्गत एक अन्तःवृत्त बनाया गया है। इस वृत्त की त्रिज्या है -

• (A)

  1 से.मी.

• (B)

  2 से.मी.

• (C)

  4 से.मी.

• (D)

  3 से.मी.

Q.122

अवकल समीकरण $(y \cos x + 1) dx + \sin x dy = 0$ का सामान्य हल है -

• (A)

  $y + x \sin x = c$

• (B)

  $y - x \sin x = c$

• (C)

  $x - y \sin x = c$

• (D)

  $x + y \sin x = c$

Q.123

यदि $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ हो, तो $\text{curl } [f(r)\vec{r}]$, $(r = |\vec{r}|)$ के लिए बराबर है -

• (A)

  $f(r)\hat{j}$

• (B)

  $0$

• (C)

  $\hat{i}$

• (D)

  $f(r)\hat{k}$

Q.124

यदि $u = \log(\tan x + \tan y)$ हो, तो $\sin 2x \frac{\partial u}{\partial x} + \sin 2y \frac{\partial u}{\partial y}$ बराबर है -

• (A)

  $2u$

• (B)

  $u$

• (C)

  $1$

• (D)

  $2$

Q.125

निम्न में से कौनसा, बीटा फलन $\beta(m, n)$ के बराबर नहीं है?

• (A)

  $\int_{0}^{\pi/2} 2 \sin^{2m-1} \theta \cos^{2n-1} \theta d\theta$

• (B)

  $\int_{0}^{1} \frac{x^{m-1} + x^{n-1}}{(1+x)^{m+n}} dx$

• (C)

  $\int_{0}^{\infty} \frac{x^{m-1}}{(1+x)^{m+n}} dx$

• (D)

  $\beta(m+1, n) + \beta(m, n+1)$

Q.126

यदि $x \in \left(0, \frac{1}{4}\right)$ के लिए, $\tan^{-1} \left( \frac{6x\sqrt{x}}{1-9x^3} \right)$ का अवकलज $\sqrt{x} g(x)$ है, तो $g(x)$ बराबर है -

• (A)

  $\frac{9}{1+9x^3}$

• (B)

  $\frac{1}{1-9x^3}$

• (C)

  $\frac{1}{1+9x^3}$

• (D)

  $\frac{6}{1+9x^3}$

Q.127

यदि $\hat{a}$ तथा $\hat{b}$ दो इकाई सदिश हैं, तो सदिश $(\hat{a} + \hat{b}) \times (\hat{a} \times \hat{b})$ के समान्तर सदिश है -

• (A)

  $\hat{a} + \hat{b}$

• (B)

  $\hat{a} - \hat{b}$

• (C)

  $2\hat{a} + \hat{b}$

• (D)

  $2\hat{a} - \hat{b}$

Q.128

रैखिक प्रोग्रामन समस्या में, निकाय $Ax = b, x \ge 0$ का एक आधारी हल, अपभ्रष्ट हल कहलाता है, यदि -

• (A)

  ठीक एक ही आधारी चर का मान शून्य हो।

• (B)

  अधिक से अधिक एक आधारी चर का मान शून्य हो।

• (C)

  एक से अधिक आधारी चरों का मान शून्य हो।

• (D)

  कम से कम एक आधारी चर का मान शून्य हो।

Q.129

यदि $u = x \log_e xy$, जहाँ $x^3 + y^3 + 3xy = 3$, तो $\frac{du}{dx}$ बराबर है -

• (A)

  $1 + \log_e xy - \frac{y(y^2+x)}{x(x^2+y)}$

• (B)

  $1 - \log_e xy - \frac{x(x^2+y)}{y(y^2+x)}$

• (C)

  $1 + \log_e xy - \frac{x(x^2+y)}{y(y^2+x)}$

• (D)

  $1 - \log_e xy - \frac{y(y^2+x)}{x(x^2+y)}$

Q.130

यदि मॉडलिंग क्ले से बने 48 से.मी. ऊँचाई तथा 12 से.मी. आधार त्रिज्या वाले ठोस शंकु को एक ठोस गोले के आकार में परिवर्तित कर दिया जाये, तो इस प्रकार प्राप्त गोले की त्रिज्या है -

• (A)

  8 से.मी.

• (B)

  10 से.मी.

• (C)

  14 से.मी.

• (D)

  12 से.मी.

Q.131

एक अक्रमविनिमेय समूह, जिसके सभी उपसमूह प्रसामान्य हैं, कहलाता है एक -

• (A)

  हैमिल्टोनियन समूह

• (B)

  सरल समूह

• (C)

  चक्रीय समूह

• (D)

  क्रमचय समूह

Q.132

समतल $x + 2y + 3z = 3$ के ध्रुव के गोले $x^2 + y^2 + z^2 = 5$ के सापेक्ष निर्देशांक हैं -

• (A)

  $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{5}{3})$

• (B)

  $(\frac{5}{3}, \frac{10}{3}, 5)$

• (C)

  $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1)$

• (D)

  $(\frac{5}{3}, \frac{10}{3}, \frac{5}{3})$

Q.133

श्रेणी $\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n^p}$ है -

• (A)

  $p < 0$ के लिये सापेक्षतः अभिसारी

• (B)

  $p < 1$ के लिये अभिसारी

• (C)

  $p > 1$ के लिये निरपेक्षतः अभिसारी

• (D)

  $p \ge 1$ के लिये अपसारी

Q.134

यदि a, b और c गुणोत्तर श्रेणी में तीन भिन्न-भिन्न वास्तविक संख्याएं हैं और $a + b + c = bx$, तो निम्न में से कौनसा सत्य है?

• (A)

  $x \in [-1, 3]$

• (B)

  $x$ काल्पनिक संख्या है

• (C)

  $x \in (-1, 1)$

• (D)

  $x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$

Q.135

$\tan^{-1} \left( \frac{\sin x}{1 + \cos x} \right); -\pi < x < \pi$ का $x$ के सापेक्ष अवकलज है -

• (A)

  $\frac{1}{2}$

• (B)

  $\frac{2}{3}$

• (C)

  2

• (D)

  1

Q.136

$n \in N$ के लिये, $(\sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 1})$ है -

• (A)

  एक अपरिमेय संख्या

• (B)

  एक पूर्णांक

• (C)

  एक परिमेय संख्या

• (D)

  एक काल्पनिक संख्या

Q.137

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के नाभिलम्ब के एक सिरे का अभिलम्ब, इसके लघु अक्ष के एक सिरे से गुजरता है, तो निम्न में से कौनसा सत्य है?

• (A)

  $e^2 + e = 1$

• (B)

  $e^3 + e^2 = 1$

• (C)

  $e^4 + e^2 = 1$

• (D)

  $e^3 + e = 1$

Q.138

यदि एक फलन $f(z), z = z_0$ बिन्दु पर सतत है, तो निम्न में से कौनसा कथन असत्य है?

• (A)

  $f(z)$, किसी भी पथ के लिये $z_0$ पर सतत है।

• (B)

  $f(z), z_0$ पर हमेशा वैश्लेषिक फलन होता है।

• (C)

  $\lim_{z \to z_0} f(z)$ का $z_0$ पर अस्तित्व है।

• (D)

  $f(z), z_0$ पर परिभाषित है।

Q.139

न्यूटन-राफसन विधि की अभिसरण की कोटि है -

• (A)

  त्रिघातीय

• (B)

  रैखिक

• (C)

  द्विघातीय

• (D)

  चतुर्थघातीय

Q.140

यदि $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - x + 1} - ax) = b$, दिया है कि $b$ परिमित है, तो $a$ एवं $b$ के मान हैं -

• (A)

  $a = -1, b = \frac{-1}{2}$

• (B)

  $a = 1, b = \frac{-1}{2}$

• (C)

  $a = -1, b = \frac{1}{2}$

• (D)

  $a = 1, b = \frac{1}{2}$